„WER ZU FINDEN WEISS, LERNT VIEL BEI EULER"

Euler-Vorlesung 1996 im Neuen Palais im Park Sanssouci

Mit Musik von Vivaldi, Händel und Friedrich II, vorgetragen von Studenten und Lehrkräf­ten des Instituts für Musik und Musikpädagogik der Universität Potsdam, wurde der dies­jährigen, nunmehr vierten Euler-Vorlesung im voll besetzten Schloßtheater im Neuen Palais ein festlicher Rahmen gegeben. Prof. Dr. Ralf Menzel, Prorektor für Forschung und wissenschaftlichen Nachwuchs, begrüßte die Teilnehmer der Veranstaltung, die von den mathematischen Instituten der vier Universitäten im Raum Berlin-Potsdam, dem Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik sowie dem Konrad-Zuse- Zentrum für tnformationstechnik gemeinsam getragen wird, und betonte, daß trotz der allgemeinen Sparzwänge das Ministerium für Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Brandenburg (MWFK) die Euler-Vorlesung wiederum finanziell unterstützt hat. Dr. Rainer Rüge, Referatsleiter im MWFK, betonte in seinem Grußwort, daß eine frucht­bare Kooperation zwischen Brandenburg und Berlin mehr denn je gebraucht werde.

In jeder Euler-Vorlesung wird mit einem hi­storisch orientierten Vortrag dem Wirken Leonhard Eulers gedacht. In diesem Jahr sprach Dr. Herbert Pieper von der Berlin- Brandenburgischen Akademie der Wissen­schaften über „Die Eulersche Identität - eine Brücke zwischen Analysis, Arithmetik und Kombinatorik“.

Die Eulersche Identität (1737) läßt sich durch die Formel

ausdrücken, d.h. eine „unendliche Summe“ wird als ein „unendliches Produkt" darge­stellt. Pieper betonte, daß die Bedeutung Eulers bereits im 18. Jahrhundert erkannt wurde. Der Berliner Mathematiker Karl Wei­erstraß (1815-1897) würdigte die Genialität in Eulers Schaffen mit der Feststellung Wer zu finden weiß, lernt viel bei Euler". Und Herrmann Weyl (1885-1955), ein vor den Nazis aus Deutschland emigrierter Mathe­matiker des berühmten Göttinger „Mathe­matischen Kränzchens“ hob hervor, daß ein im Jahre 1954 gestelltes Problem seine Lö­sung in Formeln findet, die Euler bereits 1765 gefunden hatte..

Auf der „Brücke" zwischen Analysis und Arithmetik, die durch die Eulersche Identität geschlagen wurde, begegnet man Carl Gu­stav Jacob Jacobi (1804-1851). Eines der An­liegen des in Potsdam geborenen Mathema­tikers war es, das Gesamtwerk Eulers her- auszubnngen. Daneben entwickelte sich ein interessanter Wettstreit mit Niels Henrik Abel (1802-1829), bei dem es um eine Ver­allgemeinerung der Eulerschen Identität ging. Eine weitere „Brücke“ ergibt sich aus dem Euler-Legendre'schen Pentagonalzah- lensatz, für den 1881 ein geometrischer Be­weis erschien, und der für James Joseph Syl­vester (1814-1897) zur Leitidee seiner For­schungen wurde. Viele Ragen der heutigen Mathematik werden auf der Basis der Euler­schen Untersuchungen und Ergebnisse be­handelt. Die nach Euler benannte Identität war eine der bedeutendsten Entdeckungen des Schweizer Mathematikers.

Anschließend stellte Prof. Dr. Martin Gröt- schel, Konrad-Zuse-Zentrum und “[techni­sche Universität Berlin, in seiner Laudatio den Hauptredner, Prof. Dr. Läszlö Loväsz, als einen seit 30 Jahren am Himmel der Diskre­ten Mathematik strahlenden Stern vor. Ne­ben seinem frühzeitigen Interesse für die Mathematik zeigte sich Loväsz schon als 16jähriger von einer Klassenkameradin mit Namen Kati gefesselt. Er heiratete sie später und der Verbindung entsprossen vier Kinder. Wie fruchtbar sich zwischenmenschliche Beziehungen auf das Finden mathemati­scher Ergebnisse auswirken können, be­weist folgende Geschichte. Der junge Läszlö hielt sich in Warnemünde zu einem mathe­matischen Kurs auf. Die Gedanken an seine

Läszlö Loväsz, geboren 1948 in Budapest, seit 1993 Professor of Mathematics and Computer Science an der Yale Universityin Princeton, hielt die Euler-Vorlesung 1996. Foto: Fntze

Kati veraniaßten ihn, in seiner Ffeizeit Mathe­matik zu treiben. So bewies er ein Resultat, das Alfred Tärski (1901-1983) etwa zehn Jah­re früher gefunden hatte, unabhängig und ohne Kenntnis des Beweises von Tärski: Gilt für beliebige Graphen A, B und C die Iso­morphie der direkten Produkte A x C und B x C, dann sind auch die Graphen A und B zu­einander isomorph.

Bedeutsam ist, daß Loväsz das als Perfect

Graph Theorem bekannte Problem mit Hil­fe seiner Kati, die ihn auf eine Lücke im Be­weis aufmerksam gemacht hatte, im Jahr 1972 auf zwei Seiten vollständig beweisen konnte. Ein namhafter Mathematiker hatte zehn Jahre zuvor vergeblich einen Beweis angestrebt. Die internationale Anerkennung von Prof. Loväsz wurde durch die Anwesen­heit seines ehemaligen Lehrers und Nestor der Graphentheorie, Prof. Dr. Päl Erdös, unterstrichen.

Dann trat Loväsz ans Rednerpult. Erbehan­delte in seiner Vorlesung eine Thematik von der „Forschungsfront“, deren Anfänge aller­dings auch mit dem Namen Eulers verbun­den sind. Ausgehend von der populären Vorstellung, daß ein Graph ein Gebilde aus Punkten und Linien einer Ebene ist, entwik- kelte er einen weit gespannten Bogen von anschaulichen Aspekten bis zu modernen Entwicklungen der Graphentheorie, die es gestatten, aus einer geometrischen Reprä­sentation eines Graphen Informationen über diesen selbst zu gewinnen. Eine wich­tige Rolle spielen solche Darstellungen, bei denen die Knoten eines Graphen auf Vekto­ren eines d-dimensionalen reellen Vektor­raumes abgebildet werden. Von besonde­rem Interesse sind Klassen von Graphen, die durch gemeinsame Eigenschaften charakterisierbar sind. Dreifach zusam­menhängende Graphen sind zum Beispiel dadurch gekennzeichnet, daß jeder Knoten von jedem anderen Knoten auf drei ver­schiedenen Wegen erreichbar ist.

Es ist bekannt, daß jeder dreifach zusam­menhängende planare Graph derart geo­metrisch repräsentierbar ist, daß seine Automorphismen bewahrt werden oder daß jede seiner Kanten die Einheitskugel be­rührt. Für eine Reihe aktueller Probleme ist eine Orthogonale Darstellung eines Gra­phen G von Bedeutung. Dabei wird jedem Knoten i von G ein Element vi des d-dimen- sionalen reellen Vektorraumes derart zuge­ordnet, daß der Betrag von vi stets 1 ist, das Skalarprodukt von vi und vj verschwindet, falls die Knoten i und j nicht durch eine Kan­te verbunden sind, und die Dimension d möglichst klein ist. Eine Allgemeine Posi­tionsdarstellung ist eine Orthogonale Dar­stellung mit der zusätzlichen Bedingungen, daß für jede d-elementige Menge von Kno­ten des Graphen die Menge der zugeord­neten Vektoren linear unabhängig ist. Mit Hilfe solcher Darstellungen lassen sich für jeden Graphen natürliche Zahlen definie­ren, die Auskunft über seine Planarität, Ein- bettbarkeit in den dreidimensionalen reel­len Vektorraum, Kreiseigenschaften oder Wegeigenschaften geben.

Hans-Jürgen Vogel

PUTZ 5/96

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