Bei der Behandlung von konkreten Größenbereichen werden von Repräsentanten ausgehend (z.B. von Stäben, Strecken” ‚... bei der Größe„Länge*‘‘) durch Bildung von Äquivalenzklassen die„Objekte“ eines Größenbereiches(Länge) erzeugt. Das bedeutet, dass zunächst Repräsen­tantenbereiche, in denen mit konkreten Objekten operiert werden kann(Aneinanderlegen von Stäben- es entsteht ein Repräsentant für die Summe), betrachtet werden müssen. Dort kann auch der direkte Vergleich von Stäben(kürzer als) erfolgen. Das bedeutet, dass sowohl Rep­räsentantenbereiche als auch die durch Abstraktion(Klassenbildung) zu gewinnenden Größen eine Rolle spielen. Kınder werden mit konkreten Repräsentanten arbeiten und dabei eine Vor­stellung von(abstrakten) Größen gewinnen. Jedes Kind kann auf sein Blatt z.B. einen Reprä­sentanten der Länge 5 cm zeichnen, alle diese gezeichneten Strecken haben eine Eigenschaft gemeinsam: Sie sind gleich lang.

Schmidt und Weiser® legen ihren Untersuchungen den Begriff des Maßsystems zugrunde. Eın solches Maßsystem wird durch ein Tripel(R, R”,©) bestehend aus einem Repräsentantenbe­reich R, dem Zahlbereich der positiven reellen Zahlen R” und einer Maßfunktion©, die jedem Element des Repräsentantenbereiches eine positive reelle Zahl— seine Maßzahl— zuordnet. Dabei ist ein Repräsentantenbereich eine Menge realer oder mathematischer(also abstrakter) Objekte mit einer Äquivalenzrelation=(genauso lang, genau so viel wert, genauso schwer, ...), einer Relation<(kürzer, weniger wert, leichter,...) sowie einer Verknüpfung U(aneinan­derlegen, zusammenschütten,...). Bei dieser Auffassung wird insbesondere die Idee des Mes­sens betont, denn es stellt sıch die Frage:

Wie findet man die(Maß-)Zahl, die dem jeweiligen Repräsentanten zugeordnet wird?

Die Maßfunktion©, die einem Element aus R eine positive reelle Zahl zuordnet, wird durch folgende Eigenschaften charakterisiert:

(1) Sie ist addıtıv, d.h. für alle r und s aus RR gilt: o(r U s)= 0(r)+@(s)

(2) Sie ist ordnungshomomorph, d.h. für alle r, s aus RR gilt, r< s gdw. 0(r)<@(s)

(3) Für alle r, saus R gilt: r— s gdw. o(r)= 0(s)

(4) Es existiert ein ron R mit o(r9)= 1; es existiert also ein„Einheitsrepräsentant.““

Bei dieser begrifflichen Grundlage stehen in der Schule die konkreten Repräsentanten, mit denen die Kinder arbeiten und, wie bereits gesagt, das Messen im Vordergrund und nicht so sehr der abstrakte Größenbegriff.

Bei dieser Auffassung ist eine wichtige Frage, der auch Schmidt und Weiser nachgegangen sınd, wıe sıch Zahlverständnis und Größenverständnis gegenseitig beeinflussen, wie Kinder ıhr Zahlverständnis nutzen, wenn ın Aufgabensituationen Maßzahlen auftreten. Schmidt und Weiser gehen von einer„...quasiı— simultanen und wechselseitig sich beeinflussenden Struk­turierung von Repräsentantensystem, Zahlbereich und Maßsystem beim Kind aus....“.’ Dies wurde ım Ergebnis ıhrer Untersuchung auch bestätigt. Es zeigte sich, dass auch Kinder, die bei Invarıanzaufgaben sensu Piaget scheitern, durchaus bereits ein Verständnis für Größen und Maßzahlen entwickeln, wobei sie sich wesentlich auf ihre Zählkompetenz— als einem wesentlichen Aspekt des Zahlverständnisses— stützen. Auch bei unserer Untersuchung wer­

* Dabei haben wir es bereits hier mit unterschiedlichen abstrakten Gebilden zu tun. Während es sich bei Strecken um abstrakte mathematische Objekte handelt, sind Stäbe Objekte der Umwelt der Kinder. Will man Vorstellun­gen von Größen entwickeln, muss man bis zu diesen realen Objekten gehen.

° Vgl. Schmidt, S./ Weiser, W. Maßzahlverständnis von Schulanfängern, in: JDM 1986 H. 2/3 S. 121—

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’ ebenda S. 124